一般化線形モデル(GLM)実践ガイド

一般化線形モデル(GLM)は、従来の線形回帰を拡張した統計モデルのクラスです。これにより、二項分布、ポアソン分布、ガンマ分布など、異なるタイプの分布に従う応答変数のモデル化が可能になります。この柔軟性により、GLMは特に幅広いアプリケーションに役立ちます。特に、データが通常の最小二乗回帰の仮定を満たさない場合に有用です。

GLMは3つの主要なコンポーネントで構成されています:

• ランダム成分: これは応答変数の確率分布を定義します。これは、正規分布、二項分布、ポアソン分布などを含む指数族分布の任意のメンバーである可能性があります。

• 系統的要素: これは線形予測子であり、独立変数(予測因子)とそれぞれの係数の積の組み合わせです。

• リンク関数: リンク関数は、ランダム成分と系統的成分を接続します。これは、応答変数の平均を線形予測子に関連付ける関数であり、予測値が分布の適切な範囲内に留まることを保証します。

GLMは、応答変数の分布と対応するリンク関数に基づいて分類できます。

• ロジスティック回帰: 応答変数が二項(0または1)の場合に使用されます。リンク関数はロジット関数で、成功の確率の対数オッズをモデル化します。

• ポアソン回帰: カウントデータに適しています。応答変数にはポアソン分布を使用し、ログリンク関数を使用します。

• ガンマ回帰: このモデルは正の値を持つ連続データに適しており、待機時間やその他の歪んだ分布のモデル化にしばしば使用されます。

• 逆ガウス回帰: 正の歪みのあるデータに使用され、さまざまな科学分野で適用されます。

GLMの適用を示すために、以下の例を考えてみましょう:

• ロジスティック回帰の例:

  • シナリオ: 年齢と収入に基づいて顧客が製品を購入するかどうかを予測する。
  • 応答変数: 購入 (はい/いいえ)。
  • 予測因子: 年齢、収入。
  • モデル: ロジスティック回帰モデルは、年齢と収入の関数として購入の確率を推定します。

• ポアソン回帰の例:

  • シナリオ: 店舗への顧客到着数を時間ごとにモデル化する。
  • 応答変数: 到着数。
  • 予測因子: 一日の時間、週の日。
  • モデル: ポアソンモデルは、時間に関連する予測因子に基づいて到着数を予測します。

• ガンマ回帰の例:

  • シナリオ: 機械が故障するまでの時間を分析する。
  • 応答変数: 故障までの時間。
  • 予測因子: メンテナンス頻度、機械の年齢。
  • モデル: ガンマ回帰モデルは、故障までの時間データの歪度を考慮します。

GLMを扱う際には、関連する手法や戦略についても認識しておくことが重要です。

• モデル選択技術: Akaike情報量基準(AIC)やベイズ情報量基準(BIC)などのツールを使用して、最適なモデルを選択します。

• 残差分析: モデルの適合性を確認し、潜在的な問題を特定するために残差診断を実施します。

• クロスバリデーション: GLMの予測性能を評価するためにクロスバリデーション技術を実装します。

• 相互作用項: 反応変数に対する2つ以上の予測因子の組み合わせ効果を捉えるために、相互作用項を含めることを検討してください。

一般化線形モデルは、従来の回帰モデルの枠を超えてさまざまなタイプのデータを分析するための堅牢なフレームワークを提供します。異なる分布を扱う柔軟性により、金融、医療、社会科学などの分野で非常に重要です。GLMの構成要素、種類、および応用を理解することで、分析スキルを向上させ、データに基づいてより情報に基づいた意思決定を行うことができます。