調整済みR二乗とは何ですか？ 定義、例

調整済みR二乗は、回帰モデルがデータにどれだけ適合しているかを示す統計的指標であり、使用される予測因子の数を考慮に入れています。R二乗は、従属変数の分散のうち独立変数によって説明できる割合を示しますが、調整済みR二乗はモデル内の予測因子の数に基づいてこの値を調整します。この調整は重要です。なぜなら、予測因子を追加するとR二乗が人工的に膨らむ可能性があり、誤解を招く解釈につながるからです。

• R二乗 (R²): これはモデルによって説明される分散の割合を示す基本的な指標です。値は0から1の範囲で、高い値はより良い適合を示唆します。

• 予測因子の数 (k): これはモデルに含まれる独立変数の数です。予測因子を多く含めるほど、実際の寄与に関係なく、R二乗は高くなる可能性があります。

• サンプルサイズ (n): これはデータセット内の観測値の総数です。より大きなサンプルサイズは、モデルのパフォーマンスのより信頼性の高い推定を提供することができます。

• 過剰適合の回避: 過剰な予測因子にペナルティを課すことで、調整済みR二乗は、データのノイズに単に適合するのではなく、真に予測的なモデルを特定するのに役立ちます。

• モデル比較: これは、異なる数の予測因子を持つモデル間で公平な比較を可能にします。高い調整済みR二乗値は、不要な複雑さなしに基礎となる関係をよりよく捉えるモデルを示します。

• より良い解釈性: 調整済みR二乗は、説明される分散の割合のより現実的な推定を提供し、アナリストが発見を伝えるのを容易にします。

調整済みR二乗の公式は基本的に1つですが、異なる文脈で計算することができます。

• 重回帰分析: 最も一般的な応用であり、複数の独立変数を使用して従属変数を予測します。

• 多項式回帰: 調整済みR二乗は、多項式回帰にも適用されます。ここでは、変数間の関係がn次の多項式としてモデル化されます。

• 一般化線形モデル: 様々なタイプの一般化線形モデルで使用するために適応でき、モデルのパフォーマンスに関する洞察を提供します。

• 例 1: 1つの予測因子を持つ単純線形回帰モデルは、R二乗が0.85になることがあります。しかし、意味のある情報を提供しない第2の予測因子が追加されると、調整済みR二乗は0.80に低下し、第2の予測因子が役に立たないことを示します。

• 例 2: 住宅価格に関する重回帰分析では、5つの予測因子を持つモデルが0.90のR二乗を示すことがあります。別の予測因子が追加され、調整済みR二乗が0.90のままであれば、新しい予測因子がモデルの説明力を向上させていないことを示唆しています。

• クロスバリデーション: この手法は、データをサブセットに分割してモデルのパフォーマンスを検証することを含み、調整済みR二乗評価に影響を与える可能性のある洞察を提供します。

• モデル選択基準: 赤池情報量基準 (AIC) や ベイズ情報量基準 (BIC) などの手法は、最適なモデルを選択する際に調整済みR二乗を補完することができます。

• 特徴選択: 後方除去や前方選択のような戦略を採用することで、最も重要な予測因子を特定し、最終的に調整済みR二乗を改善するのに役立ちます。

要約すると、調整済みR二乗は回帰モデルのパフォーマンスを評価するための貴重な指標です。予測因子の数を調整することで、アナリストが過剰適合によって誤解されることなく、有意義な関係を見分けることができるようにします。この概念を理解することで、統計分析を改善し、データに基づいてより情報に基づいた意思決定を行うことができます。