什么是调整后的 R 平方？定义，示例

调整后的 R 平方是一个统计指标，提供了回归模型与数据拟合程度的洞察，同时考虑了使用的预测变量数量。虽然 R 平方表示可以由自变量解释的因变量方差的比例，但调整后的 R 平方根据模型中的预测变量数量调整该值。这个调整至关重要，因为添加更多的预测变量可能会人为地抬高 R 平方，从而导致误导性的解释。

• R平方 (R²): 这是基础指标，表示模型解释的方差比例。它的范围从0到1，值越高表示拟合越好。

• 预测变量数量 (k): 这是模型中包含的自变量的数量。您包含的预测变量越多，R平方值可能越高，无论它们的实际贡献如何。

• 样本大小 (n): 这是数据集中观察的总数。更大的样本大小可以提供更可靠的模型性能估计。

• 避免过拟合: 通过惩罚过多的预测变量，调整后的 R 平方有助于识别真正具有预测能力的模型，而不仅仅是拟合数据中的噪声。

• 模型比较: 它允许对具有不同预测变量数量的模型进行公平比较。更高的调整 R 平方值表明模型更好地捕捉了潜在关系，而没有不必要的复杂性。

• 更好的可解释性: 调整后的 R 平方提供了更现实的方差解释百分比估计，使分析师更容易传达发现。

虽然调整后的 R 平方的公式基本上是一个，但它可以在不同的上下文中计算:

• 多元线性回归: 最常见的应用，其中使用多个自变量来预测一个因变量。

• 多项式回归: 调整后的 R 平方也适用于多项式回归，其中变量之间的关系被建模为 n 次多项式。

• 广义线性模型: 它可以适用于各种类型的广义线性模型，提供对模型性能的洞察。

• 示例 1: 一个具有一个预测变量的简单线性回归模型可能会产生 0.85 的 R 平方值。然而，如果添加一个不提供有意义信息的第二个预测变量，调整后的 R 平方值可能会降至 0.80，这表明第二个预测变量没有帮助。

• 示例 2: 在涉及房价的多元回归分析中，一个包含五个预测变量的模型可能显示出 R 平方值为 0.90。如果添加另一个预测变量，而调整后的 R 平方值仍然保持在 0.90，这表明新的预测变量并没有提高模型的解释能力。

• 交叉验证: 该技术涉及将数据划分为子集，以验证模型的性能，提供可以影响调整后的 R 平方评估的见解。

• 模型选择标准: 技术如赤池信息量准则(AIC)和贝叶斯信息量准则(BIC)可以补充调整后的R平方，以选择最佳模型。

• 特征选择: 采用向后消除或向前选择等策略可以帮助识别最重要的预测变量，从而最终提高调整后的 R-Squared。

总之，调整后的 R 平方是评估回归模型性能的一个重要指标。通过调整预测变量的数量，它帮助确保分析师能够识别有意义的关系，而不会被过拟合所误导。通过理解这一概念，您可以改善您的统计分析，并根据数据做出更明智的决策。