Bias di convessità dei futures e il suo impatto sulla copertura dei futures Treasury

Il bias di convessità dei futures indica la discrepanza sistematica tra il prezzo implicito da un contratto futures Treasury e il prezzo forward corrispondente derivato dalla curva dei rendimenti spot, causata dal regolamento giornaliero mark‑to‑market dei futures e dalla presenza di opzioni di consegna. Questo bias si manifesta come un aggiustamento positivo al prezzo del future rispetto al prezzo forward, il che significa che, per un dato livello di rendimento, il tasso forward implicito dal future supera il tasso par‑forward della curva swap o LIBOR/SOFR. Il bias nasce perché il margine giornaliero genera un effetto di convessità: quando i tassi aumentano, le posizioni long ricevono liquidità che può essere reinvestita a tassi più alti; quando i tassi diminuiscono, le posizioni short devono immettere liquidità a costi più elevati a tassi più bassi. Questa asimmetria introduce una componente di convessità positiva nella struttura di payoff dei futures, assente nei contratti forward o nelle obbligazioni cash.

In pratica, il bias è più marcato per i futures su note e obbligazioni Treasury a lunga scadenza (ad es., 10 e 30 anni), dove l’opzionalità nella consegna e la sensibilità dell’obbligazione cheapest‑to‑deliver (CTD) ai cambiamenti di rendimento sono massime. Studi empirici confermano che il bias non è costante nel tempo: si espande nei periodi di alta volatilità e si restringe nei regimi a bassa volatilità, riflettendo il valore variabile dell’opzione di consegna incorporata.

Il bias di convessità deriva da due caratteristiche interconnesse dei futures Treasury: il margine giornaliero e l’opzione di consegna. Il margine giornaliero implica che guadagni e perdite vengano regolati ogni giorno, trasformando di fatto un contratto forward a periodo unico in una serie di prestiti di un giorno. Ciò genera un effetto di convessità perché il timing dei flussi di cassa è rilevante: una posizione future che beneficia dell’aumento dei tassi riceve liquidità in anticipo e può reinvestirla al nuovo tasso più alto; una posizione in perdita deve finanziare il deficit al nuovo tasso più alto, aumentando il costo di mantenimento della posizione. Al contrario, un contratto forward si regola solo alla scadenza, quindi non vi è alcun rischio intermedio di reinvestimento o di finanziamento.

Il secondo fattore è l’opzione di consegna, che consente al venditore di scegliere quale obbligazione consegnare e quando farlo. Con il mutare dei rendimenti, l’obbligazione cheapest‑to‑deliver (CTD) può cambiare, e il valore dell’opzione di posticipare la consegna varia in modo non lineare. Questa opzionalità aggiunge ulteriore convessità al prezzo del future. L’effetto combinato del margine giornaliero e dell’opzionalità di consegna implica che il prezzo del future non sia una funzione lineare del rendimento sottostante, e la sua sensibilità alle variazioni di rendimento (cioè la sua durata e convessità) differisce da quella dell’obbligazione cash sottostante.

Poiché il prezzo del future contiene un aggiustamento di convessità, il coefficiente di copertura standard basato sulla durata—calcolato come (Durata modificata della posizione cash) / (Durata modificata dell’obbligazione CTD) × (Prezzo CTD / Prezzo Future)—sottostima il numero di contratti necessari per coprire il rischio di tasso d’interesse. Il bias rende i futures meno sensibili alle variazioni di rendimento rispetto all’obbligazione CTD, soprattutto quando la curva dei rendimenti è ripida o volatile. Di conseguenza, una copertura basata su un semplice matching di durata espone il portafoglio a un rischio residuo di convessità: la copertura funziona bene per piccoli spostamenti paralleli ma peggiora per movimenti più ampi o non paralleli.

Per correggere ciò, i professionisti aggiustano il rapporto di copertura incorporando la correzione per la convessità dei futures. Un approccio comune è calcolare il rapporto di copertura aggiustato per la convessità come:

• Rapporto di copertura = (ΔP_cash / P_cash) / (ΔF_futures / F_futures) × (F_futures / P_cash)

dove ΔP_cash e ΔF_futures sono le variazioni di prezzo stimate usando sia i termini di duration che di convessità: ΔP/P ≈ −D·Δy + ½·C·(Δy)2. Il termine di convessità (C) cattura la risposta non lineare del prezzo dei futures alle variazioni di rendimento, che è più grande rispetto a quella dell’obbligazione CTD a causa dell’opzione di consegna. Questa correzione è particolarmente importante per portafogli di grandi dimensioni o quando si copre su orizzonti più lunghi in cui la dinamica della curva dei rendimenti è incerta.

L’opzione di consegna è al centro del bias di convessità. I contratti futures sui Treasury consentono la consegna di un paniere di obbligazioni ammissibili, ciascuna con scadenze, cedole e fattori di conversione diversi. Il venditore (short) sceglie l’obbligazione che minimizza il costo di consegna, che dipende dal livello di rendimento prevalente e dalla forma della curva. Con il movimento dei rendimenti, l’obbligazione CTD può cambiare, e il valore dell’opzione di posticipare la consegna varia. Questa opzionalità è dipendente dal percorso e convessa: il suo valore aumenta con la volatilità e con la distanza dal rendimento attuale al rendimento al quale avviene il cambio CTD.

L’impatto sulla copertura è duplice. Primo, il cambiamento del CTD implica che la duration e la convessità effettive del contratto futures variano nel tempo. Una copertura calibrata a un certo livello di rendimento può diventare inefficace se i rendimenti si muovono sufficientemente da innescare un cambio CTD. Secondo, l’opzionalità introduce un payoff non lineare che non può essere completamente catturato da una copertura di duration statica. Per gestirlo, modelli sofisticati utilizzano alberi binomiali o simulazioni Monte Carlo per ricalcolare la sensibilità del prezzo dei futures man mano che i rendimenti evolvono, aggiornando di conseguenza il rapporto di copertura.

Nella pratica, il bias di convessità viene affrontato mediante due tecniche complementari: aggiustamento statico e ricalcolo dinamico della copertura. L’aggiustamento statico consiste nel scalare il rapporto di copertura con un fattore che riflette la correzione per la convessità stimata, spesso derivata da regressioni storiche delle variazioni di prezzo dei futures rispetto a quelle delle obbligazioni cash o da aggiustamenti impliciti dal modello (ad es., usando il framework Hull‑White). Per esempio, se l’obbligazione CTD ha una duration modificata di 8.0 e il contratto futures a 10 anni ha una duration effettiva di 7.6 dopo l’aggiustamento, il rapporto di copertura sarebbe 8.0 / 7.6 ≈ 1.05, non 1.0.

Il ricalcolo dinamico della copertura prevede il monitoraggio dell’obbligazione CTD e il ricalcolo del rapporto di copertura ogni volta che la curva dei rendimenti si sposta in modo significativo o la volatilità implicita dei tassi cambia. Questo è particolarmente importante per grandi istituzioni con portafogli multimiliardari, dove anche una stima errata dello 0.1% del rapporto di copertura può provocare perdite materiali di P&L. Alcune società incorporano la correzione per la convessità direttamente nei loro sistemi di gestione del rischio, utilizzando input in tempo reale della curva dei rendimenti e della volatilità per calcolare rapporti di copertura aggiornati durante l’intera giornata di negoziazione.

Una limitazione fondamentale degli aggiustamenti per il bias di convessità è che si basano su ipotesi riguardo alla volatilità futura e alla forma della curva dei rendimenti. Se la volatilità realizzata differisce dal livello presunto, l’aggiustamento può sovra‑ o sotto‑compensare. Inoltre, il bias non è costante tra le scadenze: è trascurabile per contratti a brevissima scadenza (ad es., futures a 2 anni) ma diventa significativo per obbligazioni a 30 anni. Un errore comune è applicare un unico fattore di aggiustamento fisso a tutte le scadenze, ignorando che il bias scala con il valore dell’opzione, che è funzione del tempo alla scadenza e della volatilità dei rendimenti.

Un altro rischio è confondere il bias di convessità con il rischio di base tra il CTD e il portafoglio cash. Sebbene entrambi derivino da discrepanze tra futures e strumenti cash, il bias di convessità è un effetto di pricing sistematico intrinseco al contratto futures stesso, mentre il rischio di base riflette differenze idiosincratiche di cedola, scadenza o qualità creditizia. Una copertura efficace richiede di affrontare entrambi: aggiustare per il bias di convessità per catturare la sensibilità del prezzo dei futures, e gestire il rischio di base mediante la selezione del CTD più rappresentativo o l’uso di un paniere di futures.

Supponiamo che un gestore di portafoglio detenga $100 milioni in un’obbligazione Treasury a 10 anni con una duration modificata di 7.5 e una convessità di 60. Il gestore desidera coprire questa esposizione usando futures su Treasury a 10 anni (ad es., US10), che hanno un’obbligazione CTD con duration modificata 7.8 e convessità 65. Il prezzo del future è 130.00 e il fattore di conversione CTD è 0.95. Un rapporto di copertura ingenuo sarebbe:

• Rapporto ingenuo = (100M × 7.5) / (130,000 × 0.95 × 7.8) ≈ 778.6 contratti

Tuttavia, un’analisi empirica mostra che la duration dei futures aggiustata per la convessità è 7.2 a causa dell’opzione di consegna e del margine giornaliero. Utilizzando la duration aggiustata, il rapporto di copertura corretto diventa:

• Rapporto aggiustato = (100M × 7.5) / (130,000 × 0.95 × 7.2) ≈ 843.5 contratti

Il gestore aggiunge quindi circa 65 contratti extra alla copertura. Se i rendimenti aumentano di 25 punti base, la copertura ingenua lascia il portafoglio con una perdita residua dovuta al mismatch di convessità, mentre la copertura aggiustata per la convessità riduce significativamente tale perdita, dimostrando l’impatto materiale del bias sull’efficacia della copertura.